牛吃草问题
【考情分析】
1、题 型：以解决问题为主
2、分值分布：2-8 分
3、考查范围：图示、图表或类推法解决问题。
4、考查重点：主要考查学生的分析能力。在变量中抓住两个不变量。
5、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训
练数学思维能力有重要的作用。
【思路导航】
1、牛吃草问题又称为消长问题：
是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。
2、解决牛吃草问题常用到四个基本公式：
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数一相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数一吃的较少天数）;
（2）原有草量=牛头数×吃的天数一草的生长速度×吃的天数：
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数一草的生长速度）：
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量，牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
3、牛吃草问题解题环节主要有四步：
（1）求出每天生长的草量：
（2）求出牧场原有草量：
(3）求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量）：
（4）最后求出牛可吃的天数。
4、解题思路
牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差：再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）（长时间-短时间）：
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
【典题精练】
题型一：经典的牛吃草问题
例1、一片草地以均匀速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20关，那么，25头牛可以吃多少天?
解析：这是经典的牛吃草的问题，这个问题主要就是要抓住两个不變量，就是原有草和草长速。设一头牛每天吃一份草，此题中草长速=（40×10-20×15）÷（40-20）=5（份/天），原有草=40×10-5×40＝200（份），这时我们把25头牛分5头牛去吃每天长出来的草，那么当剩下来的 20 头牛把原有草吃完的时候，整片草地就没草了。25头牛吃的时间=200÷20=10（天）。
题型二：船进水问题
例2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
解析：船进水问题其实可以看成是牛吃草问题，一样有两个不变量，一个不变量就是发现漏水时已经漏进来的水量相当于原有草，另一个就是进水的速度就是草长速，然后用牛吃草的解题方法解题。
进水速度=（8×5-10×3）÷（8-3）=2（份/时）
原水量=8×5-2×8=24（份）
人数=24÷2+2=14（人）
题型三：排队问题
例3、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需要30分钟，若同时开6个检票口则需要20分钟，如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开多少个检票口？
解析：排队问题一样可以看成是牛吃草问题来解题，两个不变量是检票前排队的人数相当于原有草，另一个就是单位时间来的排队人数就是草生长速，然后用牛吃草解题方法解题。
来人速度=（30×5-20×6）÷（30-20）=3（份/分）
原人量=30×5-3×30=60（份）
检票口数量=60÷10+3=9（个）
题型四：两种动物吃草问题
例4、一片均匀生长的草地，18 头牛吃40天或者12 头牛与36只羊吃25天，1头牛1天吃的草量相当于3只羊吃的草量，请问17头牛与多少只羊刚好16天吃完？
解析：两种动物吃草的题型中一般会给出两种动物吃草量的关系，那么就把一种动物看成另一种动物，此题中就可以把3只羊看成是一头牛，那么题中第二个条件就可以看成是24头牛吃了25天，这样计算出草长速是（18×40-24×25）÷（40-25）=8（份/天），原有草是18×40-40×8=400份，原有草16天吃完需要400÷16=25（头)，加上分出去吃新长草的8头牛，一共就有33头牛，33-17=16头羊就有16×3=48（只）。
题型五：牛中途增加或减少问题
例5、有一片牧场上面的草每天均匀生长。它可供9头牛吃12天或者可供8头牛吃16天。如果开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃光所有的草。那么增加了多少牛头？
解析：牛中途增加题型中需要抓住三个不变量，第一个是草长速，第二个是一开始的原有草量，第三个是牛增加当天开始时的原有草量。 此题由前两个条件可以算出草长速5份/天，原有草是48份，如果四头牛吃的话，每天可以增加5-4=1（份）草，那么第7天开始时原有草量是48+6=54（份），54份草6 天吃完需要的牛数是54÷6+5=14（头），增加数 14-4=10（头）。
题型六：草量匀速减少问题
例6、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。己知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天?
解析：草量匀速减少题型中，吃的时间越长，吃的总草量则越少。设每头牛每天吃1份草，草减速=（20×5-15×6）÷（6-5）=10（份/天），原有草=20×5+10×5=150（份），牛数=150÷10-10=5（头）。
题型七：走扶梯问题
例7、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？
解析：本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分：一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度＝（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间一男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间一男孩走的时间）=（2×300-3×100)÷(300-100)=1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间一自动扶梯的速度×女孩走的时间
=2×300-1.5×300=600-450＝150（级），所以自动扶梯共有150级的梯级。
题型八：多块地的牛吃草问题
例8、有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？
解析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析。
10 头牛 20天 10×20=200=原有草量+20天生长的草量
15 头牛 10天 15×10=150 =原有草量+10 天生长的草量
从上易发现：1200 平方米牧场上 20-10=10 天生长草量=200-150=50.
即1天生长草量=50÷10=5；那么1200平方米牧场上原有草量： 200—5×20=100或150-5×10=100。则3600平方米的牧场1 天生长草量=5×（3600÷1200）=15； 原有草量：100×（3600÷1200）=300.
75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60=5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。
