中考试题中的数学文化（5）
《几何原本》——一元二次方程的图解法
【中考对接】
1. 欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax＝b2 的方程的图解法是：
画 Rt△ABC，使 ∠ACB＝90°，BC＝a/2，AC＝b，再在斜边 AB 上截取 BD＝a/2，
则该方程的一个正根是( )
A. AC 的长
B. AD 的长
C. BC 的长
D. CD 的长
《田亩比类乘除捷法》
2.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：
“ 直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．
意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，
问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多________步．
【参考答案】
1. B
【解析】
2. 12
【解析】
设宽为 x 步，则长为 (60－x) 步．
∵ 矩形田地的面积为 864 平方步，
∴ x(60－x)＝864.
解得 x1＝36，x2＝24.
当长 x＝36 时，宽为 60－x＝24，此时长比宽多 36－24＝12(步)；
当长 x＝24 时，宽为 60－x＝36，此时长比宽多 24－36＝－12 (步)，不符合题意，舍去．
综上，长比宽多 12 步．
解方程不是你想的那么简单--求解方程的历史
方程方程中文一词出自古代数学专著《九章算术》，其第八卷即名“方程”。“方”意为并列，“程”意为用算筹表示竖式。不过《九章算术》里的方程的含义与我们现在所讲的方程不同，它专指由线性方程组的系数排列而成的长方阵。现在方程表示含有未知数的等式。
九章算术
意大利人对代数历史具有浓厚的兴趣，这与意大利早期数学的工作有关，1494年，意大利数学家帕乔利《算术几何及比例》一书出版，书中包罗了当时欧洲各种数学知识。他跟随缪勒用代数法研究几何问题，曾任维也纳教授，在欧洲许多地方讲授数学，特别有声望，帕乔利虽然会解一、二次方程，但却不会解高于二次的方程，他甚至认为高于二次的方程是不能解的。这一结论反而激发了数学家们研究三、四次方程的兴趣。三、四次方程很快成为16世纪数学研究的中心。16世纪最壮观的数学成就估计就是意大利数学家关于三、四次方程的研究。这一工作使得文艺复兴时期的代数方程论取得了长足的进展。
意大利数学家帕乔利
二次方程求根历史一、古巴比伦解法
大约在公元前1894--前1595年的巴比伦全盛时期，最早出现了二次方程解法的求根公式。如美国耶鲁大学巴比伦藏品编号为ybc6967的一块泥板上，记载了一道数学题。大意是两数互为倒数，二者的差是7，求这两个数。另一个类型是“两数之积是a,两数之和是b（a,b为正）,求这两个数”。如果列出方程组（用现在方法），再消去一个未知数，得出如下结果：
因为当时人们未认识负数，只取了一个正根。但是古巴比伦是怎样推导出以上公式，没有记载。
二、古代中国解法
我国古算《周髀算经》（公元前2世纪）注译者赵爽的“勾股圆方图”，《九章算术》勾股章第11题，以及刘徽《九章算术注》都用几何法推导出了求根公式（b,c为正），用现在符号表示如下：
三、古代印度解法
古印度数学家阿耶波多、婆罗摩笈多、斯里特哈勒等也先后得出如下求根公式(a不为0，只取正根)
四、阿拉伯人解法
完全一元二次方程求根公式最后完成应该归功于阿拉伯数学家花拉子米，他从《代数学》中给出如下公式。并且花拉米子用几何方法给出了两种证明。
花拉子米
为了寻找一般一元二次方程的求根公式，人类花了约2000多年，最后由花拉子米彻底解决。说一说花拉子米，他科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作。公元825年左右编辑著成了《代数学》，比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理，并首次在解方程 中提出了移项和合并同类项的名称，书中还承认二次方程有两个根，容许无理根的存在．他把未知量叫做‚根‛，从而把解方程叫做‚求根‛，西文‚Algebra‛（代数）就是从这本书的书名演变而来的．故人们称花拉子米为“代数之父”
三次方程求根历史三次方程的问题出现的也很早，如古巴比伦泥板上的一道题：求给定体积的长方体的长、宽、高，其中长是高的12倍，而宽与高相等。解此问题要用到简单的三次方程。
在三次方程求根公式出现之前，对三次方程有两种解法。第一种是11世纪中亚地区数学家海亚姆提出的通过曲线交点来求出三次方程根的方法。但当时还没有坐标系的概念，他采用画抛物线和圆的方式求三次方程的根。这个方法不仅在代数史上有重要地位，而且在几何上也很有意义。第二种是印度数学家婆什伽罗使用的方法，先将方程两边配成完全立方，然后两边开立方的方法，他不知道三次方程有3个根，因此他只取了一个根。
直到16世纪以前，欧洲数学尽管有不少发展，出现了斐波那契和帕乔利等一批数学大师，但在解方程的方法上并没有超越前人。
不过16世纪情况发生了很大变化，意大利波仑亚的数学教授费罗在1500年左后解出了形如下的三次方程。
但他并没有将他的方法发表，因为当时有一种风气，数学家常把自己发现的独特方法隐藏起来，然后依此向别人挑战，以便获得荣誉。当时知道费罗方法的只有他的女婿那发和学生菲俄，而且还是他去世不久前才将秘密传授给他们的。
1535年左后，威尼斯一位数学教授塔尔塔利亚声称找到了如上三次方程的解法。当时费罗已经去世，费罗的学生菲俄得知后很不服气，于是，他向塔尔塔利亚提出挑战，双方约定30天内解出30个3次方程，以解出多者为胜。由于塔尔塔利亚掌握了不少类型三次方程解法，因此他只花了2个小时就把30道题解完了，而菲俄却一筹莫展。而后塔尔塔利进一步研究更一般的三次方程，1541年他成功了。
塔尔塔利亚
塔尔塔利亚原名丰坦那，自学成才。幼年时英法交战，法军杀死他的父亲，塔尔塔利亚头部受伤，导致他有语言障碍，因口吃被称为塔尔塔利亚（意大利语，结巴）。他本人也以此名发表文章。
1539年，米兰的医生和学者卡尔达诺以保守秘密为条件骗取了塔尔塔利亚的解法，并将其发表在他的著作《大术》中，尽管卡尔达诺也写明了方法的来源，可失信的行为还是激怒了塔尔塔利亚。由于《大术》的影响，三次方程的解法被称为“卡尔达诺公式”。其解法思路如下：
对于一般的三次方程是可以变为如上形式的。所以此法适用于所有三次方程。《大术》问世后，遭到塔尔塔利亚的谴责，他向卡尔达诺宣战，没想到卡尔达诺的学生费拉里出面把塔尔塔利亚击败。
四次方程求根历史在三次方程被解决不久，一般四次方程的解法也出现了，1540年，意大利数学家达卡伊向卡尔达诺提出一个导致四次方程的问题，虽然卡尔达诺没有解决，但他的学生费拉里却成功解决了他。并收入卡尔达诺的《大术》中，称为解四次方程的费拉里方法。这个公式尽管非常繁琐，但至少说明四次方程是存在求根公式的。
费拉里
关于解四次方程的费拉里方法，简要叙述如下图：
四次方程的费拉里方法
更高次方程代数解数学家们发现，解一般四次方程总依赖于一个三次方程，是否可以将一般五次方程的解归结为解四次方程呢？欧拉大约在1750年进行尝试，但结果失败了。法国的拉格朗日约于1770年完成《关于代数方程解的思考》一文，明确指出“不可能用根式解四次以上方程的”。他的学生鲁菲尼也证明了这样一个事实：一般五次或五次以上的方程不可能用方程系数的根式表示。后来挪威数学家阿贝尔也独立证明了一般五次方程不可能存在求根公式，但什么样的特殊方程能够用根式表示的判断没有解决。不过，这个问题被法国数学家伽罗瓦解决了。
伽罗瓦
探索数学的道路是无止无境的，求解方程只是数学的一小步，但没有这一小步，人类未来将迈不出一大步。
