本文目录一览：
谁是世界上最孤独的数？不要怕，本文难度不超过小学五年级！
看到哪个数，你会觉得最孤独？
有人会说是1，因为它孤身一人。
有人会说是0，因为它没有任何存在感。
有人会说是214，有人会说是419（咦）。
这些都是字面上的直接联想，因人而异，很难说哪个比哪个更加孤独。
然而对一个学过数学的人来说，确实存在一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率φ。许多人说它是最美的数，美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明，它是最“无理”的数，最难以接近的数，因而在这个意义上，是最孤独的数。
图 | wwwsmomyth
越走越近，却永远不能在一起一个无理（irrational）数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式，每多写下一位数，就是用一个更加精确的有理（rational）数去逼近它。当然，这个过程永远到不了尽头。
但是无理数也可以用分数的形式表现，只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要“连分数”。
不要怕，这里的全部数学只是加减乘除和通分，不超过小学五年级。
先用一个有理数作为例子：1024/137，约等于7.47445255。
第一级近似：7，于是它变成了 7 + 65/137。第二级近似：把第一级留下的分数倒过来，137/65 近似是2，于是它变成了 2 + 7/65，于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。第三级近似：对7/65进行类似处理，以此类推。最后得到的结果是：
或者，省去那些多余的1，可以表达为 [7; 2, 9, 3, 2]。
能够证明，每一个有限的连分数都代表一个有理数，而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数（要求第一个系数是整数，剩下的全是正整数）。比如上面那个数也可以表示为 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除这两种之外再没有别的写法了。
同样的步骤完全适用于无理数，但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如，π的连分式可以表示为：
或者用简化的表达式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。这个数列在“整数数列线上大全”（OEIS）中的编号是A001203。
一步一米，或者一步十年使用连分数来逼近，就会遇到一个“逼近速度”的问题：每前进一步，近似值向精确值靠近了多少呢？
回到π的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面剩下的：
π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...
熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的“约率”。
如果接下来看到第三位近似:
π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929...
也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好的近似。
这就是连分数的一个神奇属性：当你得到一个连分数后，你就自动获得了“最快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候，最小的单位就是1/7，那么误差范围应该是1/14以内吧？实际上，使用连分数获得的误差范围不是1/14以内，而是1/49以内！ 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。
更一般地，假如一个无理数α，它的某一步连分式展开后变成了 p / q 的形式，那么一定有
| α - p/q | < 1 / q^2
而且， 这一定是当前最好的精确值，任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π的前三级展开，分别是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范围内一定找不到比7更好的，1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是，7却比8、9、10……都要好。因此可以说，连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。
那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快？从上面的公式可以看出来，这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越近越快，数字越近越慢。祖冲之能发现约率和密率，部分原因是因为他运气好，π开头的这俩数正好都不小，所以能给出很漂亮的逼近。
而最小的正整数，当然就是1了。
黄金分割率，最漫长的旅程
如果有这样一个数：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
或者，
你肯定猜到了，这就是传说中的黄金分割数φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就会得到另一个常见形式：0.618... 而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。
我们试着逼近一下，得到的是
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.66666...
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.61538...
进行了6次近似，结果才到小数点后2位！刚才我们用π仅仅进行了2次近似，就精确到了小数点后6位。
（你可能注意到了，这个连分数的每一级逼近，就是传说中的斐波那契数列。为什么？你猜。）
1是最小的正整数。因此，φ，这个全部由1组成的连分数，是所有数中最难以接近的数。没有之一。
孤独的数，高冷的数，独一无二的数，不可捉摸的数许多人说φ是最美的数，贯穿整个西方艺术史，所有优秀的设计都要用到它。这其实是夸大其词了。很多所谓的显示了黄金分割率的图，其实只是强行把一个对数螺线罩上去而已，二者并没有什么相似之处。
黄金分割率是19世纪才开始流行的观念，达芬奇本人从未提过；现实中大部分比例（3:2，4:3，16:9）固然和黄金率离得不“太”远，但几乎见不到精确符合它的；人体并不严格符合黄金律；如果你让艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方形，挑出来的长宽比并不是围绕黄金律的。一项实验表明，只要是1.4-1.7范围内的长方形，人们都会觉得好看。黄金率在审美上没有什么特殊之处，我们看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的理论依据而已。
请问这张图里前面那个对数螺线和后面那个建筑除了一样宽之外还有几毛钱的关系？| Sébastien B
然而，自然界“懂得”它的真正含义。
想象你是一朵向日葵。你的果实和种子是在中心生长出来的，然后逐渐被“推”到外面去，过程中逐渐变大——因此传统的密堆方式（比如蜂巢那样的六边形）就不能用了。但是每长出一粒新的籽，你可以选择旋转一定的角度然后再长下一颗。
如果你旋转90度，也就是1/4个圆，结果就是这样：
因为外圈的空间比内圈大，所以有些地方你永远用不到。这很浪费空间。选择任何分数——1/3、1/4、2/5、3/7……结果都是这样，形成周期的图样，而两个周期中间的地方，总触及不到。
要想避开周期，只能用无理数。结果就是这样：
大有改善，但是还有很多缝隙没用上。毕竟，无理数是可以用连分数近似的。近似得太好的话，就和分数没有太多差别。
因此，我们必须找一个距离分数最远的、最难近似的、最无理的数，这样才不会产生周期性，才能补上中间的那些空隙。
这就是φ。它所对应的角度，大约是137.5度。
这个数字必须极其精确，不然就会毁掉整个图样。往上数第二张图——那是137.6度，多了0.1而已。但自然界很明显抓住了这个数。向日葵当然不懂这背后的数学原理，但在自然选择的压力下它猜中了答案。
本系列图片来源：《一道八百年松鼠难题》by 桔子帮小帮主，下图不再一一注明
下面的截图是模拟不同的取值所带来的后果。输入0.618，再比较一下0.617和0.619的结果。如果说φ里体现了美，我倒宁愿认为是它展现了自然界的一角，而不是因为似是而非的神秘主义。
总之，不论在审美的意义上φ是否是一个美的数，在数学的意义上φ是一个高冷的数。它最为高效，然而又最难靠近，最是无理，因此，它也是最孤独的数。
而相比之下，一个人之所以孤独，则常常不是因为无理，而是因为过于理性了。
作者：Ent
编辑：Calo
本文来自果壳，未经授权不得转载.如有需要请联系sns@guokr
（欢迎转发到朋友圈~）
孤独的超现实数字插图｜人类思想迸发出的缤纷色彩
哥伦比亚波哥大插画师卡罗莱纳·罗德里格斯·富恩马约尔(Carolina Rodríguez Fuenmayor)是一位超现实主义的视觉艺术家。在她的作品中，宇宙、人类是永恒的主题，充满幻想的元素、鲜艳明亮的色彩冲撞、抽象的概念描绘，让她的作品迷幻且孤独…
热爱绘画的卡罗莱纳·罗德里格斯·富恩马约尔，多年来经历了从铅笔、水彩再到数字绘画的转变，表现手法上日渐纯熟。她通过绘画来解释在生活、梦想和死亡中她认为重要的事，每一幅作品中包含的故事，都与她自身有关，掺杂着她对生活的感悟。
笔触飘逸细腻，画面层次丰富，耐人寻味的结构，充满了故事与隐喻，看过她的作品的人，总有那么几幅在眼前挥之不去，引发遐想与共鸣。
她的作品，可以说是对人类心理的一种窥视。因为这些生活中随机发生的事件、随机产生的情绪、随机引起的生活态度，都实实在在地存在并影响着我接下来的生活。
画面中的人物，正是搭在现实与我们之间的桥梁，让观者联想到世界之初万物出世的异世界，同时带来了无尽的幻想与灵感，以及引发了对生活意义的思考。
文| 全球创意美术原创 转载需注明出处
图| Carolina Rodríguez Fuenmayor版权所有 未经许可不得擅用
艺术素养慢慢养,一起NewB才是真NewB!
你还在偷偷摸摸地长见识吗?
今日头条/微博/微信公众号|全球创意美术
孤独的数字：城市中的隐忧与渴望
在这个数字化时代，城市如同蜂巢，密密麻麻地住着无数的数字和人群。在这个拥挤的城市中，你是否曾感受到一种孤独，一种深深的寂寞？数字化的快捷和便利，似乎也带来了一种隐忧，让我们不由自主地沉浸在虚拟的世界中。孤独的数字，让我们在连接的同时，产生了无法言说的空虚。
在社交媒体的浪潮中，我们被纷纷扰扰的信息所包围。每天，我们花费大量的时间在手机和电脑前，滑动屏幕，却很少有真正的沟通和交流。看着那些精心修饰过的照片和生动的动态，我们不由自主地陷入对他人生活的嫉妒和比较。而在这过程中，我们似乎忘记了真正的自己，忘记了那个独特的灵魂。
城市中的高楼大厦和繁华的商业街，让我们仿佛迷失在繁华的海洋中。我们奔忙于生计和事业，追逐着名利和成功，却忽略了内心的渴望。当夜晚来临，当灯火熄灭，我们是否曾感受到一种孤独？城市的喧嚣似乎掩盖了我们内心深处的那份渴望，渴望着一份真正的关怀和理解。
数字的便利让我们越来越习惯于独自一人。我们通过手机订餐、网购衣物，通过社交媒体分享自己的心情。我们逐渐习惯了孤独，习惯了一个人吃饭，习惯了一个人旅行。然而，在这个看似自由的世界中，我们是否真正快乐？当夜幕降临，当寂静无声，是否曾感受到一份渴望与共情？
在这个快节奏的社会中，我们渴望有人能够倾听我们的心声，理解我们的苦衷。我们渴望能够找到真正的归属感和温暖。我们渴望拥有真正的人际关系，而不仅仅是虚拟的网络连接。我们渴望能够重新找回自己，找回那个纯粹的灵魂。
或许，我们需要停下来，放下手机，走出虚拟的世界，去感受身边的人与事。或许，我们需要勇敢地去表达自己，去寻找那份真正的共情。或许，我们需要勇敢地面对内心的孤独和渴望，寻找自己真正想要的生活。
城市中的孤独数字，也许是一个提醒，提醒我们去重新审视自己的内心世界。让我们一起勇敢面对，一起勇敢探索，寻找那份真正的共情和渴望，让城市中的孤独得以减少，让我们的生活更加充实和美好。
一怀愁绪，几年离索。60首含数字古诗词，意蕴深厚，让人陶醉
#秋日生活打卡季#
数字，在诗词中，有时不仅仅是简单的计数工具，更是诗人用以抒感、描绘生活、启发思考的元素。数字在诗词中的运用，往往使得作品更加丰富多元，意蕴深厚。
数字的运用，首先使诗词具有了音乐的美感。例如，古诗词中常见的回文诗，利用数字的排列组合，使得诗词在朗读时具有了节奏感和韵律感，如“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”这种回环往复的旋律，让人陶醉。
其次，数字的运用更深化了诗词的主题和情感。如《江雪》一诗中，“千山鸟飞绝，万径人踪灭。”通过大量的数字对比，诗人表达了自身孤独、遗世独立的情感，深化了诗的主题。
再者，数字入诗，还有种独特的哲学思考。如陆游的《钗头凤》中，“一怀愁绪，几年离索。”数字“一”与“几”的对比，引发人们对时间、生活、情感等诸多问题的深思，深化了诗词的内涵。
数字在诗词中的运用，不仅增加了诗词的音乐美、画面感，更深化了诗词的主题和情感。这些数字或明或暗，如诗如画，赋予了诗词独特的魅力。
今天荔枝姑娘整理了60句含有数字的古诗词，实际上，在我们的古典文学中，还有不计其数的作品都包含了数字哦。你还有什么心仪的古诗词带数字的吗？可以写在评论区里哦，期待看到你的出现。
1、欲穷千里目，更上一层楼。
——唐·王之涣《登鹳雀楼》
2、一去二三里，烟村四五家，门前六七树，八九十支花。
——元·徐再思《无题》
3、人间四月芳菲尽,山寺桃花始盛开。
——唐·白居易《大林寺桃花》
4、五岭逶迤腾细浪，乌蒙磅礴走泥丸。
——现代·《七律·长征》
5、五更鼓角声悲壮，三峡星河影动摇。
——唐·杜甫《阁夜》
6、万语千言说不完，百无聊赖十依栏。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
7、万里桥边多酒家，游人爱向谁家宿。
——唐·张籍《成都曲》
8、停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花。
——唐·杜牧《山行》
9、四月枇杷未黄，我与对镜心意乱。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
10、四面边声连角起，千嶂里，长烟落日孤城闭。
——宋·范仲淹《渔家傲·秋思》
11、十年一觉扬州梦，赢得青楼薄幸名。
——唐·杜牧《遣怀》
12、问君能有几多愁，恰似一江春水向东流。
——五代十国·李煜《虞美人·春花秋月何时了》
13、三杯两盏淡酒,怎敌他,晚来风急。
——宋·李清照《声声慢·寻寻觅觅》
14、三顾频烦天下计，两朝开济老臣心。
——唐·杜甫《蜀相》
15、一壶浊酒喜相逢,古今多少事,都付笑谈中。
——明·杨慎《临江仙·滚滚长江东逝水》
16、千山鸟飞绝，万径人踪灭。
——唐·柳宗元《江雪》
17、七月七日长生殿，夜半无人私语时。
——唐·白居易《长恨歌》
18、七弦琴无心弹，八行书无可传。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
19、六出飞花入户时，坐看青竹变琼枝。
——唐·高骈《对雪》
20、两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。
——唐·杜甫《绝句》
21、可怜九月初三夜，露似珍珠月似弓。
——唐·白居易《暮江吟》
22、九重城阙烟尘生，千乘万骑西南行。
——唐·白居易《长恨歌》
23、九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿！
——两汉·卓文君《怨郎诗》
24、金樽清酒斗十千，玉盘珍羞值万钱。
——唐·李白《行路难·其一》
25、回眸一笑百媚生，六宫粉黛无颜色。
——唐·白居易《长恨歌》
26、黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠。
——唐·崔颢《黄鹤楼》
27、后宫佳丽三千人，三千宠爱在一身。
——唐·白居易《长恨歌》
28、功盖三分国，名成八阵图。
——唐·杜甫《八阵图》
29、烽火连三月，家书抵万金。
——唐·杜甫《春望》
30、毕竟西湖六月中，风光不与四时同。
——宋·杨万里《晓出净慈寺送林子方》
31、百思想，千系念，万般无奈把郎怨。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
32、百尺游丝争绕树，一群娇鸟共啼花。
——唐·卢照邻《长安古意》
33、八月湖水平，涵虚混太清。
——唐·孟浩然《临洞庭湖赠张丞相》
34、八千里路云和月，莫等闲，白了少年头，空悲切。
——宋·岳飞《满江红·写怀》
35、三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。
——唐·颜真卿《劝学诗》
36、一声梧桐一声秋，一点芭蕉一点愁，三更归梦三更后。
——元·徐再思《水仙子·夜雨》
37、重九登高看孤雁，八月仲秋月圆人不圆。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
38、枕上十年事，江南二老忧，都到心头。
——元·徐再思《水仙子·夜雨》
39、五月石榴红似火，偏遇阵阵冷雨浇花端。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
40、花间一壶酒,独酌无相亲,举杯邀明月,对影成三人。
——唐·李白《月下独酌四首·其一》
41、七八个星天外，两三点雨山前。
——宋·辛弃疾《西江月·夜行黄沙道中》
42、南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中。
——唐·杜牧《江南春·千里莺啼绿映红》
43、白发三千丈，缘愁似个长。
——唐·李白《秋浦歌十七首》
44、一片两片三四片，五片六片七八片。
——清·郑板桥《咏雪》
45、巴不得下一世，你为女来我做男。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
46、我有一瓢酒，可以慰风尘。
——唐·韦应物《简卢陟》
47、只说是三四月，谁又知五六年。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
48、重湖叠巘清嘉，有三秋桂子，十里荷花。
——宋·柳永《望海潮·东南形胜》
49、一朝别后，二地相悬。
——两汉·卓文君《怨郎诗》
50、一二三枝竹竿，四五六片竹叶。
——清·郑板桥《题画竹》
51、春风得意马蹄疾，一日看尽长安花。
——唐·孟郊《登科后》
52、李白一斗诗百篇，长安市上酒家眠。
——唐·杜甫《饮中八仙歌》
53、三月三日天气新，长安水边多丽人。
——唐·杜甫《丽人行》
54、金风玉露一相逢，便胜却人间无数。
——宋·秦观《鹊桥仙·纤云弄巧》
55、人生如梦,一尊还酹江月。
——宋·苏轼《念奴娇·赤壁怀古》
56、新丰美酒斗十千咸阳游侠多少年。
——唐·王维《少年行四首》
57、五花马，千金裘，呼儿将出换美酒。
——唐·李白《将进酒·君不见》
58、宇宙一何悠,人生少至百。
——魏晋·陶渊明《饮酒·十五》
59、八月枚乘笔,三吴张翰杯。
——唐·李白《送友人寻越中山水》
60、两岸青山相对出,孤帆一片日边来。
——唐·李白《望天门山》
