洛数(洛数是什么意思)

作者 | 林开亮 陈见柯

来源 |《数学文化》第13卷第3期，好玩的数学获授权转载，在此感谢！

高等研究院是学者的天堂。和诗人、音乐家一样，学者们也应顺应自己的想法，才能竭尽所能，成就辉煌。

——亚伯拉罕 • 弗莱克斯纳 , 1939, 《论无用知识的有用性》

佛罗伦萨主教堂

文艺复兴人阿尔贝蒂

马格里特《单人房间》

丢勒《忧郁》（1514）

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布鲁内莱斯基的探索

文艺复兴时期德国最重要的画家丢勒（Albrecht Dürer，1471—1528）的木刻《为躺着的妇人作画》，告诉我们画家是如何作画的。右边是画家本人，左边是他的模特。画家在中间放置了一块玻璃屏板，上面描好方格子，同时他的画布上也用铅笔描好方格子。模特透过玻璃屏板，会有一个轮廓呈现。例如，鼻子在点A上，膝盖在点B上，而肚脐又在点C上。画家只需依样画葫芦，便又轻松又准确地把人物描绘到平面上。

这就是透视原理（perspective principal），但它不是丢勒的首创和发现。丢勒出生于纽伦堡，小时候在作坊里学习绘画，后来又拜名师学艺。从18岁开始，丢勒到处旅行，先是去尼德兰和瑞士，后来两次长期旅居意大利，既丰富了生活阅历，又学到了包括意大利画家的透视原理在内的绘画技巧。事实上，早在丢勒出生前半个多世纪，意大利就有一位艺术家致力于透视法的探索和实践。

大约在1413年，布鲁内莱斯基（Filippo Bruneleschi，1377—1446）展示了后来的艺术家广泛使用的透视技法的几何原理。布鲁内莱斯基出生在佛罗伦萨，他的父亲是公证人，小时候他接受父母的安排，学习文学和数学，希冀子承父业，做一名公仆。后来他依照自己的意愿改行学做金匠和雕刻师，然而由于某种原因，在一次有把握获胜的雕刻竞赛中他没有成功，一气之下又改行从事建筑设计，那时候文艺复兴运动已经开始了。

布鲁内莱斯基最重要的作品是佛罗伦萨主教堂（1420—1436），迄今它仍是包括作者在内的各国游客的必到之地，也使得他成为文艺复兴时期意大利最重要的建筑师。正是在他建筑生涯的初期，布鲁内莱斯基重新发现了原本为希腊人所知晓后来却在欧洲中世纪失传的透视原理。据说他用两块描绘佛罗伦萨街道和建筑的油画证明了他的发现，可惜这两块画板现已遗失。

从布鲁内莱斯基用来举证的两块画板上的油画是街道和建筑这件事来看，他所重新发现的透视原理很可能是没影点。所谓没影点（vanishing point），是指三维空间里两条平行的直线其延长线在视觉印象里相交于无穷远点。举例来说，铁道线的两条铁轨向无限方向延伸时，在无穷远处是相交的。这一现象并不是孤立的，又如茶杯的杯沿通常是圆形的，但看起来却像是椭圆，无论我们站在近旁还是远处。

可以说布鲁内莱斯基创立了科学绘画，他的学生和后辈中，乌切洛（Ucelo，1397—1475）、德拉·弗 朗 切 斯 卡（dela Francesca，1416—1492）、马萨乔（Masacio，1401—1428）都对透视学作出了重要贡献。马萨乔是第一个运用老师引入的透视法的画家，他的《纳税钱》比任何早期作品都更具有写实主义气息，同时表现出了距离感。16世纪的艺术史家瓦萨里（GiorgioVa-sari，1511—1574） 认为，马萨乔是第一个达到完全真实地描绘事物的艺术家。

从流传下来的作品来看，乌切洛并非最杰出的艺术家，他表现透视学方面的佳作随着时间的流逝被严重毁坏，已经无法复原了，不过仍然显示出景物的表面、线条和曲线的复杂性。他生前潜心于透视学这门“十分可爱的学问”之中，常常在妻子的催促下才上床睡觉。瓦萨里记载，“为了研究透视学中的没影点，他曾经通宵达旦”。

德拉·弗朗切斯卡使得透视学变得成熟，他对几何学抱有极大的热情，每个位置都事先安排得非常精确，以保持与其他图形的比例关系，同时使作品的整个部分一体化。他喜欢弯曲光滑的曲面和完整性，甚至对人物身体的每个部位及其服饰都运用了几何形式。他的作品《耶稣复活》和《鞭笞》是透视学的两幅佳作，同时也是艺术史上的珍品。

假如你有机会欣赏到古典油画，画中有家具或天花板的话，那一定是有平行线的。你将会发现，把每组相互平行的线各自朝一个方向延长，都会相交于同一点，那也正是vanish这个动词的原意，即“消失”。

阿尔贝蒂的无解之问

在布鲁内莱斯基27岁那年，另一位杰出的意大利建筑师阿尔贝蒂（Leone Alberti，1404—1472）出生于热那亚，比同城出生的航海家克里斯托弗·哥伦布早了将近半个世纪。阿尔贝蒂是佛罗伦萨一位银行家的私生子，自小他就跟着父亲学习数学，后曾在帕多瓦念书，再到博洛尼亚大学深造，获得法学博士学位。之后，他随一位红衣主教游历了法国、比利时和德国，1432年定居罗马，担任教皇的秘书。

阿尔贝蒂多才多艺，他曾用拉丁文创作喜剧，在他的文艺著作《论绘画》中，首次引入了投影线和截景等概念，阐明了从三维物体到平面画布的透视原理。阿尔贝蒂也是文艺复兴时期最伟大的建筑理论家，著有十卷本的《论建筑》，此书用拉丁文写成，他认为建筑必须实用、经济、美观，尤以前两者为先决条件。在阿尔贝蒂看来，建筑物的美是客观存在的，美就是和谐和完整。

阿尔贝蒂还从人文主义出发，用人体的比例来解释古典柱式。他像哲学家一样提出他的思考：“一个人只要想做，他就能做成任何事情。”“我希望画家通晓全部自由艺术。但我首先希望他们精通几何学。”“借助数学的工具帮助，自然界将显得更为迷人。”不过，《论建筑》要等到阿尔贝蒂身后13年才得以出版。五个多世纪过去了，他留下的建筑仍有佛罗伦萨的鲁奇拉府邸、新玛利亚教堂，里米尼的圣弗朗西斯科教堂，曼图亚的圣安德烈亚教堂等，其风格雄伟有力。

说一说阿尔贝蒂的建筑风格。在他之前，布鲁内莱斯基继承了古希腊的遗风，通过柱子或半柱奠定了古典建筑的风范，尤以佛罗伦萨主教堂和帕齐小教堂为代表。按照20世纪英国艺术史家贡布里希爵士的说法，阿尔贝蒂创造了一种个人私宅的建筑风格，其影响一直延续至今。他选择了扁平的壁柱和檐部，像网络一样覆盖在建筑的立面。这样一来，在保留古典柱式的同时，又不改变建筑的结构，从而赋予城市邸宅以现代的形式。

说到《论建筑》，公元前1世纪的罗马建筑师马可·维特鲁威（Marcus Vitruvius）也写过十卷本的《建筑学》，书中记载了古希腊数学家阿基米德测定希罗王金王冠真假的故事。阿基米德在洗澡时发现浮力定律，同时也揭示了王冠的真假之谜。1487年前后，达·芬奇也曾画过一幅著名的素描《维特鲁威人》，那是素描的教科书中不可或缺的。画家依据《建筑学》中的描述，努力绘出最完美比例的男子人体。

阿尔贝蒂曾宣称，一幅画就是投射线的一个截景。他画过这样一幅素描，右边是（画家的）眼睛，左边是要画一个景物，犹如杭州西湖三潭印月的三座石塔（相传是北宋大诗人苏东坡疏浚西湖时的创意，现有的石塔系明代重建）。画家在他和景物之间放置了一块画好方格子的玻璃屏板，然后模仿景物在玻璃屏板上的投影或轮廓，在同样画有方格子的画布上描绘下来。

很明显，这种利用截景的透视方法在阿尔贝蒂时代已经很流行了。难得的是，阿尔贝蒂从中提出了这样一个数学问题，假如把玻璃屏板平行移动，那么得到的截景或轮廓与原先的十分相似，他问：两者之间的数学关系是什么？这个问题比起欧几里得几何学中相似三角形的关系来，可是要复杂和困难许多，难怪那个时代全欧洲的艺术家和数学家都回答不出来。

艺术史成为艺术家的历史

文艺复兴时期的画家们之所以对数学有如此广泛的兴趣，原因应该是多方面的。首先，绘画的问题是把三维空间的人物或客观事物表现在二维的平面上，无论如何这都与几何学有关。艺术家要创作逼真的作品，除了颜色、形态和意图，他或她面对的对象本身是有一定空间的几何形体。具体来说，画家要考虑理想的比例，描绘它们位于空间中的位置的相互关系，这就需要用到欧氏几何。

其次，文艺复兴时期的画家们都受到了希腊哲学的影响，他们熟悉并满脑子充斥了这样的信念：万物皆数。数学是真实的现实世界的本质，宇宙是有秩序的，并能按照几何方式明确地理性化，终极真理的表达方式就是数学的形式。因此，艺术家像希腊哲学家一样，认为要透过现象认识本质，需要在画布上真实地展示题材的现实性，他们最后面临和解决的问题必定归结为一定的数学内容。

再次，中世纪晚期和文艺复兴时期的艺术家，往往也是那个时代的建筑师和工程师，因此必然需要和爱好数学。那时候的商人、王侯和教会纷纷把建筑问题交给艺术家，让他们设计建造教堂、修道院、皇宫、医院、桥梁、水闸、堡垒、运河、城墙、战争器械，等等。在达·芬奇的笔记本里，可以找到大量的诸如此类的设计图纸。因此，文艺复兴时期的艺术家既是博学的纯粹数学家，也是优秀的应用数学家。

值得一提的是，“文艺复兴”的意大利文Ri-nascimento是由ri（重新）和nascere（出生）构成的，意为

“再生”“复活”。经过漫长的中世纪黑暗时代之后，意大利各个城邦崛起，市民和世俗知识分子（非经院哲学的教士）越来越厌恶天主教的神权和禁欲主义，可是由于本身没有成熟的文化体系可以抗衡，于是借助复兴古希腊和古罗马的文化形式来表达自己的诉求。它不仅仅是古典的复兴，还是资产阶级的新文化运动。在这场主要由艺术来呈现的复兴运动中，数学起到了非常重要的作用，以至于克莱因称文艺复兴是“数学精神的复兴”。

然而，终要有特殊的数学问题作为中介，让那些有天赋的艺术家们进行探讨和研究，发挥他们的才智。这个问题非透视莫属，即如何在二维的画布上展现现实世界中的三维景物？为此，经过几代艺术家的共同努力，他们创建了一整套全新的数学透视理论体系，从而建立起一种崭新的绘画风格，并把古典绘画带到一个新的难以企及的高度。

在西方绘画史上，各种透视体

系大致可以分成两大类，即概念体系和光学体系。光学体系即前文阐释的透视原理和没影点理论，而概念体系是指按照某种观念或法则去描绘人物或物体，与实际的景物本身几乎没有什么关系。例如，古埃及的绘画，人物的大小经常依据他们在政治或宗教阶层中的地位而定。在这些作品中，法老的尺寸是最大的，其次是他的妻子，大臣就更小了，但仍比仆人要大。

在东方，例如中国画和日本画，也基本上是遵从概念体系进行创作的，也即没有引入透视的原理或数学的方法。而在现代绘画作品中，概念体系也经常出现，有的甚至成为表达的方式。超现实主义画家马格里特认为：一个事物恰恰是为它经常出现的样子所遮蔽。他采取的方法之一是：改变对象的尺度、位置或质地，创造出一种不协调。

虽说古希腊和古罗马的绘画主要遵从光学体系。但是，天主教的神秘主义却使得艺术家又回到了概念透视体系，因为他们满足于描绘象征性的内容。换句话说，他们的绘画主题和背景倾向于表现宗教题材。因此，绘画表现的是宗教情感，而不是现实生活中的人和世界。这种风格在中世纪十分流行，持续了1000多年。特点是画面呆板生硬、毫无生气，背景通常总是金黄色的，为了强调宗教主题而与现实世界没有关联，更谈不上有任何空间关系。

文艺复兴的典型特点是，艺术家们朝向写实主义方向前进，在这个过程中数学开始进入艺术领域，引入了第三维，这只能通过光学系统的表达才能实现。从此以后，艺术家们就可以在绘画中处理空间、体积、距离、质量等的视觉印象。与此同时，现实中活脱脱的人成为宗教题材的主题，按照实际构图的画面富有生机。终于在13世纪，近代绘画之父乔托在意大利诞生。“从此以后，艺术史就成了艺术家的历史。”

丢勒的“幻方”

在达·芬奇之后，意大利的其他画家和建筑师也对数学有着浓郁的兴趣，在这些后辈艺术家中，将数学与艺术结合得最为出色的当数前文已提及的德国画家丢勒。

丢勒的故乡纽伦堡在德国的巴伐利亚，他的父亲是个成功的首饰匠，出生在匈牙利东南靠近罗马尼亚边境的久洛（Gyula）附近，28岁那年移居纽伦堡。丢勒的姓氏Ajtos原本对应于德语里的Tur er，而按照纽伦堡人的发音习惯，才改为Durer。起初，家人也想把他培养成家族的继承人，但他在作坊里学会了绘画，并在13岁时照着镜子逼真地画出自己的肖像画。

丢勒请求父亲让自己学作画，结果父亲答应了，他的一个兄弟继承了家业。父亲送丢勒进了当地一家画室，三年学徒期间，他学到了各种绘画技巧，尤其是木刻插图和铜板技巧，之前他的同胞谷登堡发明了活字印刷。出师以后，丢勒走出画室，漫游了四年，沿着莱茵河到达法兰克福、科隆和巴塞尔，并远至尼德兰（荷兰）。23岁那年，他与故乡的一位音乐家的女儿阿格列萨结了婚，那年他曾为新娘画过一幅素描。

丢勒第一件伟大的作品是《启示录》，这是由14幅版画组成的杰作。《启示录》是《圣经》里最后一篇充满恐怖奇想的经文，告诫信徒若不笃信，将会遭受惩罚。其中最有代表性的一幅是《四骑士》，骑士们或拉弓射箭或举剑挥砍，举起的空天平象征饥饿，而枯瘦的老人代表死亡，胯下的战马正无情地践踏倒下的人群。这是当时德国真实生活的反映，正是在这种历史气候下，16世纪初马丁·路德开始了宗教改革。

之后又有12年时间，丢勒携家侨居国外，期间两次在意大利长住。从意大利画家那里，他学到了透视法并进行了一番研究，画出了多幅木刻来说明如何利用截景绘画。除了上一节介绍的《为躺着的妇人作画》，还有《为坐着的男子作画》，以及《画罐》《画琵琶》等。后来，他把意大利人的发明带回到德国，使之流行于欧洲的北方。

为此，丢勒写作了一本广为流传的小册子《直尺圆规测量法》。这本书是关于几何学的，但也谈到了透视法。他认为，创作一幅画的透视基础不是信手涂画，而应该依据数学原理构图。在丢勒的影响下，18世纪初的英国数学家泰勒（以发明泰勒公式和泰勒级数闻名）、法国数学家兰伯特（证明圆周率是无理数）都撰写过透视学的权威著作。

1505年，丢勒再次来到意大利，这次他不仅为了学习取经，也为了他的作品被人抄袭讨个公道。74岁高龄的威尼斯画派领袖贝里尼（提香的老师）接见了他，询问比自己年轻40岁的德国才俊能否给一支他用过的画笔。在那个年代艺术家还带有手工特技和师徒传艺的风俗，画家自制的绘画工具和材料常常带有保密的性质，就像达·芬奇用左手反写“反字”的笔记本一样。

原来，贝里尼（Giovanni Beli ni，1430—1516）见到丢勒画的人物须发特别纤细流畅，故而认为他一定有特殊的画笔。没想到丢勒拿出一大把很普通的画笔，让老画家随意挑，并当场画出“一缕柔软纤细波浪式的女性秀发”。事实上，丢勒本人的自画像里也有卷曲优雅的头发。目睹此情此景，贝里尼大为赞叹，出高价购买丢勒的画作，这等于帮丢勒做了很大的宣传广告。

丢勒可能是文艺复兴时期所有艺术家中数学造诣最深的人。在《直尺圆规测量法》一书中，他谈到了空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，即一个圆滚动时圆周上一点的轨迹。更有甚者，丢勒考虑到了曲线或人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影，这个想法极其前卫，直到18世纪才由法国数学家蒙日发展出一门数学分支，叫画法几何，蒙日并以此在数学史上奠定地位。

1514年5月17日，丢勒深爱的母亲病故，他陷入一种悲哀。当年晚些时候，丢勒创作了铜版画《忧郁》寄托哀思，画面前方有个左手扶额作沉思状的坐着的青年女子，背景里有球、多面体等几何图形和一束光芒，右边房屋的窗子实为一个四阶幻方，即各行、各列和两条对角线元素之和均为34。

事实上，此幻方九个二阶小矩形中，有五个（四个角和中央）的元素之和也为34；还有四个顶点和任意三阶矩形或任意斜矩形的顶点之和也为34。幻方的出现无疑加重了画面的抑郁气氛和神秘感，也帮助它成为一幅世界名画。更有意思的是，幻方的最后一行中间两个数恰好组成了画作的完成年份，即1514（还有研究者发现5和17在其中的隐秘关系）。由此可见，丢勒对如何构筑幻方已经游刃有余。

虽说在中国，13世纪的南宋数学家杨辉的幻方更早出现，印度克久拉霍（Khajrāho，10—11世纪月亮王朝的故都）耆那教寺庙墙上的幻方更为完美，但因为丢勒同时也是著名的画家，所以他的幻方最为著名。丢勒以其观察的精微和构思的复杂，将其丰富的思维与热烈的理想结合在一起，产生了一种独特的效果。晚年的丢勒致力于艺术理论和科学著作的写作，包括绘画技巧、人体比例和建筑工程，并且他亲自为这些书制作插图。

丢勒在书中写道：“出自一切作品的东西，要数漂亮的人体最能使我们感到愉快，所以我就从人体比例写起。”他还曾经这样说过：“求知，以及通过求知去理解一切事物的本质，这是一种天赋……而真正的艺术，是包含在自然之中的，谁能发掘它，谁就掌握它。”

（本文摘自《数学与艺术》，蔡天新著，江苏人民出版社 江苏凤凰美术出版社2021年6月第一版，定价：58.00元）

来源： 中华读书报