【亮子数学】：常用三角公式大全
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在学习高等数学和数学分析时，经常会被涉及到的三角函数知识控住手脚。这里，主要罗列了“积化和差公式”、“和差化积公式”、“诱导公式”、“二倍角公式”、“万能公式”、“同角三角函数的基本关系式（包括：倒数关系，商数关系，平方关系）”、“正弦定理”、“余弦定理”、“海伦定理、”反三角函数公式"等。没有补充全的还可以在公众号中私信我，继续补充。
积化和差公式积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。
注：证明方法
和差化积公式注：和差化积公式的推导技巧
诱导公式二倍角公式注：二倍角的余弦公式常有以下变形（规律：降幂扩角，升幂缩角）
万能公式单角的三角函数可以用半角的正切函数来表示：
同角三角函数的基本关系式倒数关系：商数关系：平方关系：正弦定理：余弦定理：海伦定理反三角函数公式反三角函数是一种基本初等函数，常见的公式有：
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大自然的隐秘技能：神奇的Fibonacci数列
科学也跨界，它总以意想不到的方式，无处不在。
看似呆板的数列中能呈现出炫彩的科学美感。不信？那就和中国科学院物理研究所曹则贤老师一起来了解下斐波那契数列的神奇幻化吧！
自然数是无穷多的。如果把一些数字按规律排成一排，就构成了一个数列。用函数表示就是数列 {an}。
如：偶数 2，4，6，8……
奇数 1，3，5，7……
三角数 1，3，6，10，15……
素数（原子） 2，3，5，7，11，13，17……
将数列的项依次用加号连接起来的函数就是级数。由傅里叶级数 (Fourier series)发展的傅里叶分析技术是最有力的数学、物理工具。别不相信，展开成本征函数级数就是量子力学的基本操作。
人类历史中，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci）是一个天才，年少时随着父亲在北非做生意，学习了阿拉伯数字。1202年，他撰写了《Liber Abaci（算书）》一书，向西方传播印度-阿拉伯的数字系统。
阿拉伯数字体系让数学、物理学成为可能。数学、物理是就用阿拉伯数列、拉丁+希腊字母表示的，这是所有想要从事科学研究的人都必须掌握的一套话语体系！
在《Liber Abaci（算书）》一书中，斐波那契提出了一个有趣的问题：有一对成年兔子，每隔一个月就生一对小兔子，而小兔子一个月后也成年了加入生小兔子的行列，如果每对兔子都经历这样的出生、成熟、生育的过程，并且永远不死，问N个月后有多少对兔子？我们不妨用树状图展示一下：
用数列表示为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…，数列中的每一项都被称为斐波那契数，用符号Fn表示。F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N）。
这就是著名的斐波那契数列（Fibonacci数列），也叫做“兔子数列”。
虽然很有意思，但是，就这？斐波那契数列对人类发展有什么意义？
每一个数学、物理对象后面都有太多我们不知道、或者知道了也理解不了的内容。我们理解不了，科学家们却能理解。
在数学中，杨辉三角形是出现在概率论、组合学和代数中的二项式系数的三角形数组。斐波那契数列与杨辉三角形（即，帕斯卡三角形）有关联：杨辉三角形中的对角线之和，是斐波那契数，如图所示。
1611年，著名天文学家开普勒在《Strena seu de Nive Sexangula (六角雪花) 》一书中指出：斐波那契数列收敛于黄金分割数：
当数列趋于无穷大时，斐波那契数列中的数字之比无限接近黄金分割比，即1.618033987498948482…。
黄金分割数暗藏玄机。无论是数学计算或者物理研究，总会不知道哪里就冷不丁冒出来黄金分割数。
按斐波那契数列，取边长分别为1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形，以各正方形的一个顶点为圆心画出四分之一的曲线，再连接所有曲线，最后形成的螺旋线就是下图所示的“斐波那契螺旋线”。
黄金分割数是美学的重要基础。人们根据黄金分割数进行建筑设计、艺术雕塑。从古至今，许多神秘建筑都遵循着黄金分割的规律，比如金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比。美神维纳斯雕塑就是黄金分割数的完美展示。艺术家不用太懂数学，但不懂黄金分割数就成不了合格的艺术家。
人们在各个领域都发现了斐波那契数列。生活中最典型的斐波那契数列应用是在植物学中。人类在观察大自然时发现：树木生长的过程中会长出分枝，如果我们从下到上去数分枝的个数，就会发现依次是1、1、2、3、5、8、13…，刚好是斐波那契数列。大自然的花朵各有各的美丽，但几乎每朵花瓣的总数都会选择斐波那契数列的数字：3，5，8，13……
植物学中的叶序也完全符合斐波那契数列。叶序学就是一门研究植物上的植物学单元（器官）排列的学问。植物的叶子排列呈螺旋式向上，不同植物的叶序周均呈现斐波那契数列的排列规律。
植物学中，斐波那契斜列螺旋也十分常见。斐波那契斜列螺旋既可以看作一组逆时针螺旋，也可以看作是一组顺时针螺线，这两种情形下的螺旋数目是斐波那契数列中的相邻两数。我们熟悉的向日葵花盘、松果种子、菠萝上的鳞片都完美符合这一特性。
有科学家推测，斐波那契斜列螺旋是圆锥面上全同单元的密堆积，这样有利于植物种子堆积、繁衍后代。所以，大自然中蕴含着无穷的奥秘，要学会用数学、物理的眼光去看她。洞察自然的奥秘，是人类对自然的礼赞。
800多年过去了，神奇的斐波那契数列不断被人类验证，更被广泛运用到了计算机、物理、化学等领域，让这个古老的数列焕发了新的青春。
计算机编程中，在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用斐波那契数列作为例子。斐波那契数列还被纳入到了从小学到大学各个阶段的数学课程。
现代物理学中，依据斐波那契数列，可以计算出黄金分割数、白银分割数、白金分割数的三维物理空间的准周期。量子力学中，两粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开斐波那契数列。
化学领域，无机材料用应力工程再现了斐波那契数列斜列螺旋的奥妙。斐波那契数列还被广泛运用到了股市中，用以揭示股票涨落的奥秘……
由中国下一代教育基金会，深圳市平安公益基金会，科技日报社联合策划出品的“神奇的Fibonacci数列”系列科普视频，旨在引导青少年于大自然中探寻数学之美，于学科知识中培养科学精神，激发青少年的科学探究意识和创新精神。
系列视频内容将于2022年2月23日在科技日报矩阵号、中国科技网、科普中国、腾讯视频、西瓜视频、B站、百度百家号、微博泛知识、青少年科技素养提升计划公众号等多个平台同步上线，记得关注我们了解更多关于神奇数列的内容哦！（赵卫华）
来源： 中国科技网
高中数学三角函数特殊角的三角函数值表
高考中，三角函数做为最重要的一块内容，每年高考都占很大的分值，学好三角函数，首先得先背会特殊角的三角函数值
如何巧算数阵图？
数阵图在数学中，尤其是聪明题中，占着一定的比例，没有掌握解题方法的小朋友们可能需要花费很长的时间或者花了很长时间最终还是算不出来。
只要掌握了技巧，那么在算这些题目或者类似题目的时候就显得格外简单。那么如何快速的算出数阵图呢？
现在我们先来看练习的第一题：
1、把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等.
答案解析：这是一道比较简单的三角阵图，小朋友在解答的时候要有一个想法，首先要使得每条线上的3个数的和相等，那么肯定是最小的跟最大的相加，之后的四个数就交叉相加。为什么会是交叉相加呢？这是为了满足加最后一个数能够使得三个数相等的条件，如果前面两个数相加都相等了，那么最后一个数无论怎么加都不相等。
1+6 3+5 2+4
那么就可以将三个小的随便放进中间的圆圈，只要放在中间，位置可以随便调换。
由于1和6放一起，那么6是在放在2旁边还是放在3旁边呢？我们根据数的考虑，大配小原则，那么除去1之后，2和3对比，显然2比3小，那么就将6放在2旁边。之后就是5了，一样的道理，除去了3，那么剩下1和2，还是按照大配小的原则，于是就是配在1旁边了。看到这里是不是在后面解决类似的数阵图就很容易了。
我们整理一下规则：
第一条：最大和最小放一起。
第二条：剩下的数相交一起（如，2跟4、3跟5）
第二条：除掉第一条，剩下的大配小。
下面可以把数字换成，2、3、4、5、6、7，看看是否也满足这个条件呢？
或者换成任意的相邻的6个数呢？基本在整数范围内是满足上面的规则，想都不用想，直接按照上面的规则填写就可以了。家长们可以多写几个数让孩子玩一下，真的很有趣哦！
第二题又满足什么规律呢？
2、把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15.
一共有5个数，那么我们直接取中间的数放中间就好了，之后的剩下的数怎么填写呢？就按照最大跟最小原则了（3跟7,4跟6）。
我们总结一下规则：
第一条：取中间数放中间，（哪个是中间数呢？就是排在中间的数就是中间数，1、2、3,2排在中间，那么它就是中间数。）
第二条：最大跟最小放一起。
小朋友们可以测试一下第三题是不是就是上面的这个规则，第五题也一样。
剩下的4、6题小朋友们也可以自己总结一下规律(提示：有哪几个数是重复加了的)，如果无法整理我们就在下一篇文章整理给大家。希望通过掌握这些技巧能让小朋友在做聪明题方面有所突破。
