巧用隔板法快速攻破行测排列组合难题
如果让你把7个大小相同的橘子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少分到1个橘子，问一共有多少种不同的分法？ 看完问题后，你能快速得出答案吗？如果难倒你的话，那就说明你对排列组合中的隔板法还不太了解哦！这种题型在国考中出现的概率很大，不会的小伙伴不妨先和小编一起来学习一下吧。（解锁正确分法下拉至文末）
首先，让我们一起来正确认识一下隔板法 隔板法主要针对的是相同元素的不同分堆问题。我们也可以把它理解为： 如果把n个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象至少有一个，问有多少种不同的分法的问题。其基本公式为：
然后，再来看一下隔板法都有哪些题型特征 隔板法一共有三种题型：①标准型、②多分型、③少分型，后两种都需要基于“标准型”来解题，具体要怎么操作呢？下面我们再来通过3个例题分别介绍一下隔板法的三种题型特征及应用，接着往下看
1、标准型： 标准型需要同时具备的3个要求：（1）被分配的n个元素无差别；（2）这n个元素分给m个不同对象；（3）每个对象至少分一个元素。
【解析】正确答案为C。 【解题思路】本题中相同的元素是6本相同的书，故n=6；放进4个抽屉，即将书分成4堆，故m=4；每个抽屉至少放1本书，故本题为隔板法中的标准题型。 【解题方法】把6本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这6本书分成4堆，只要在这6本书形成的空隙中插入5个隔板即可。6本书排成一排，形成了7个空。但是，因为要求每个抽屉至少放1本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的5个空中插入3个隔板，即从5个空中选择3个空插入隔板，代入公式：
2、多分型 多分型需要同时具备的3个要求：（1）被分配的n个元素无差别；（2）这n个元素分给m个不同的对象；（3）每个对象至少分x个元素。
【解析】正确答案为D。 【解题思路】此题中没有要求至少发1份，而是要求至少发9份的，因此需要将其转化为标准型的隔板模型，方法就是先每个部门分x-1个元素，剩下的元素就转化为每个部门至少分一个元素了。 【解题方法】假设三个部门分别为A、B、C，每个部门可以先分8份，然后再把剩下的6份发给3个部门，保证每个部门发1份，代入公式：
3、少分型 少分型需要同时具备的3个要求：（1）被分配的n个元素无差别；（2）这n个元素被分给m个不同的对象；（3）被任意分给这m个不同的对象。
【解析】正确答案为B。 【解题思路】这道题中说每个盒子可以为空，就意味着有的盒子可以分0个元素，因此可以采用“先借后还”的思路，先向每一个盒子借一个元素，总共就会有n个元素了，由于借了一个元素，接下来在分的时候，每个盒子则至少需要分一个，这样就转化成了标准的隔板模型。 【解题方法】在分之前先向每个盒子借3个小球，总共就会有23个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了，有多少种分法，代入公式：
以上就是今天所讲的排列组合之隔板法的运用了，希望大家理解并能熟练运用，为行测得高分奠定坚实的基础！ 【上文解锁】一共有20种不同的分法，你做对了吗？ 【解析】此题为隔板法的标准型，因为相同的元素是7个大小相同的橘子，故n=7；给4个小朋友，故m=4；所以只要在这7个橘子之间插入6个隔板即可，代入公式：
MBA联考数学专题（二）- 妙用隔板法
从本周起，我们邀请了数学助教：张三的哥（江湖人称 三哥）来给大家讲解数学联考专题。一周一期，一期一会，暂定在星期三。
每周三，不见不散哦～
专题思维导图：
专题解析：
在组合数学中，隔板法（又叫插空法）是排列组合的推广，主要用于解决不相邻组合与追加排列的问题。隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。
不允许为空：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）不为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cm-1n-1。
允许为空：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cm-1n+m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cm-1n+m-1×1= Cm-1n+m-1种排法。
例题解析：
一、放球问题
例1把个相同的球放入个不同的盒子，有多少种不同的放法？（ ）
A.110 B.144 C.165 D.180 E.210
【解析】：取块相同隔板，连同个相同的小球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，共有种排法。所以，把个相同的球放入个不同的盒子，有种不同方法。故选C
例2将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？（ ）
A.180 B.200 C.230 D.231 E.240
【解析】本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法。
将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法。故选D
例3现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？（ ）
A．6 B.20 C.35 D.48 E.以上答案均不正确
【解析】这道题满足隔板法基本模型的三大条件，所以我们可以直接应用隔板法。首先我们将7个小球排成一排。在7个小球中间一共有6个间隔，在这6个间隔中我们挑出3个间隔插入隔板，这样我们就将小球分成了四份，并且每一份都至少有一个小球。接着我们将这四份小球按从左到右的顺序依次放入1-4号四个盒子中，就得到了对应的一种放法。这样一来，每一种隔板的插法就对应了一种小球的方法。6个间隔中插入3个隔板的插法共有种C（6,3）=20，即本题共有20种不同的放法。
例4现有8个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，允许出现空盒，问有多少种不同的放法？
【解析】先加入3个球，加上原来地8个球，现在共有11个球，利用隔板法将它们放到三个盒子中，共有种C（10,2）=45种放法。对于每一种放法，然后都从每个盒子中拿出一个球，当盒中分到一个球之后还回1个球，该盒实际上是空盒；分到两个球后还回1个球，该盒实际上只含一个球，依此类推。这样就成功地将8个相同的小球分入了三个盒中，允许有空盒的共有45种放法。
二、指标分配问题
例1某校召开学生会议，要将个学生代表名额，分配到某年级的个班中，若每班至少个名额，有多少种不同分法？
【解析】名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把相同的名额分配到个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：个班每班先分配个名额，只有种分法；第二步：将剩下的个名额分配给个班。取块相同隔板，连同个相同名额排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。由分步计数原理知：个学生代表名额，分配到某年级的个班中，每班至少个名额，共有种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n项展开式的项数
例1求展开式有多少项？
【解析】用个相同的小球代表幂指数, 用个标有、、、的个不同的盒子表示数、、、，将个相同的小球放入个不同的盒子中，把标有的每个盒子得到的小球数，记作的次方。这样，将个相同的小球放入个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取块相同隔板，连同个相同的小球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。故的展开式有项。
四、求n元一次方程组的非负整数解。
例1求方程的正整数解的个数。
【解析】用个相同的小球代表数, 用个标有、、、的个不同的盒子表示均不能为的正整数未知数、、、。要得到方程的正整数解的个数，分两步。第一步：个盒子每个盒子先分配个小球，只有种分法；第二步：将剩下的个小球分配给个盒子。取块相同隔板，连同个相同小球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。由分步计数原理知：共有种放法。我们把标有的每个盒子得到的小球数，记作：。这样，将个相同的小球放入个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程的每一组解。所以，方程的正整数解共有个。
升级-元素不相邻问题：
当元素之间不相邻，则可将插入“隔板”改为插入“元素”，即插空法。
例1若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法?（ ）
A.36 B.64 C.80 D.84 E.90
【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法P（3,3）=6;若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，P（4,2）=12有种插法，共有排队方法：6*12=84。故选D
例2在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种? （ ）
A.501 B.504 C.505 D.507 E.510
【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位(原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位)，有7种方法;再用另一个节目去插8个空位，有8种方法;用最后一个节目去插9个空位，有9种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为7*8*9=504种。故选B
例3一条马路上有编号为1、2、„„、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种?
A.35 B.36 C.37 D.38 E.39
【解析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有C（7,3）=35种方法，因此所有不同的关灯方法有35种。故选A。
【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。
练习题：
1. 有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？( )
A. 20 B.36 C.45 D.56 E.60
2.把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？( )
A. 20 B.36 C.45 D.56 E.60
3.若将10只相同的球随机放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则每个盒子不放空的投放方法有( )[2009,01]
A. 72 B.84 C.96 D.108 E.120
参考答案：公众号后台回复“隔板法”即可获得练习题答案。
关于隔板法的问题介绍，就到这里了，如果有相关问题，可以在备考群向数学助教提问。
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